C++ - 非線形方程式の解法(ニュートン法)!
Updated:
少し前には、f(x)=0 の解を2分法により求める C++ アルゴリズムについて紹介しました。
今日は、方程式 f(x)=0 の解をニュートン法により求める C++ アルゴリズム についてです。
ニュートン法の概念・アルゴリズムは以下の通り。
以下、数式が多いので TEX で記載。
以下、C++ によるサンプルソースです。
0. 前提条件Permalink
- Linux Mint 13 Maya (64bit) での作業を想定。
- g++ (Ubuntu/Linaro 4.6.3-1ubuntu5) 4.6.3
1. C++ ソース作成Permalink
今回、検証に使用した方程式は、 x3−x+1=0 で、グラフは以下のようになる。
そして、
- C++ なのでオブジェクト指向な作りにしている。
- 収束しない場合は最大50回ループするようにしている。
File: nonlinear_equation_newton.cpp
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/*********************************************
* 非線形方程式の解法 ( ニュートン法 )
*********************************************/
#include <iostream> // for cout
#include <math.h> // for fabs()
#include <stdio.h> // for printf()
// 方程式定義
#define f(x) (x * x * x - x + 1)
// f(x) の x における傾き ( f(x) を1回微分 )
#define g(x) (3 * x * x - 1)
using namespace std;
/*
* 計算クラス
*/
class Calc
{
// 各種定数
static const double eps = 1e-08; // 打ち切り精度
static const int limit = 50; // 打ち切り回数
// 各種変数
double x, dx; // x, dx 値
int k; // LOOP インデックス
public:
// 非線形方程式を解く(ニュートン法)
void calcNonlinearEquation();
};
/*
* 非線形方程式を解く(ニュートン法)
*/
void Calc::calcNonlinearEquation()
{
// x 初期値設定
x = -2.0;
// 打ち切り回数 or 打ち切り誤差になるまで LOOP
for (k = 1; k <= limit; k++) {
dx = x;
x = x - f(x) / g(x);
if (fabs(x - dx) / fabs(dx) < eps) {
printf("x=%f\n", x);
break;
}
}
// 収束しなかった場合
if (k > limit)
cout << "収束しない" << endl;
}
/*
* メイン処理
*/
int main()
{
try
{
// 計算クラスインスタンス化
Calc objCalc;
// 非線形方程式を解く(ニュートン法)
objCalc.calcNonlinearEquation();
}
catch (...) {
cout << "例外発生!" << endl;
return -1;
}
// 正常終了
return 0;
}
2. C++ ソースコンパイルPermalink
$ g++ nonlinear_equation_newton.cpp -o nonlinear_equation_newton
何も出力されなければ成功です。
3. 実行Permalink
$ ./nonlinear_equation_newton
x=-1.324718
値を方程式に代入して計算するとほぼ 0 になり、2分法で計算した結果とも等しいので、計算は正しいと考えてよいと思う。
数学はおもしろいけど、コンピュータで実証するというのもおもしろいです。
※ちなみに最近の当方の C++ アルゴリズムについての記事は、古い C によるアルゴリズムに関する書物を参考に C++ に移植した形態となっています。
以上。
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